נטגר גליון 3
דבר העורך
רון אהרוני
בגיליון זה יש שוב מאמר על מתמטיקאי – גיאורג קנטור, מייסד תחום שנקרא "תורת הקבוצות". סיפורו מרתק גם מבחינה מתמטית, וגם מבחינה אישית. במתמטיקה הבין דברים שלכאורה היו צריכים להיות מוכרים אלפי שנים קודם לכן, כמו מהו מספר ומה משמעותה של טענה כמו "קבוצה א' גדולה מקבוצה ב' ". בחיים הוא היה אחד המקרים הבודדים של מתמטיקאי גדול ששילם מחיר אישי על תגליותיו: הן היו כה מוזרות לבני דורו, שהם יצאו נגדן בשצף קצף. מחבר המאמר על קנטור הוא ד"ר אריה חינקיס, שכתב ספר על ההיסטוריה של משפט בסיסי בתורת הקבוצות – "משפט קנטור ברנשטיין". אנו מקווים לכתוב על המשפט הזה באחד הגליונות הקרובים.
את מדור החידות שינינו קצת – לא הייתה היענות רבה, ולכן את מדור ה"חידות לגדולים" החלטנו לצמצם למדור "חידת החודש". את מדור החידות לקטנים השארנו על כנו.
אנו ממשיכים במדור ההשערות. הפעם ד"ר יוסי כהן כתב על השערה בסיסית נוספת מתורת המספרים. במדור המאמרים לצעירים (יותר) המשכנו במאמר על השברים העשרוניים האינסופיים, והפעם קישרנו זאת לפרקטלים ולסדרות גיאומטריות אינסופיות. בהמשך הדברים יתקשרו גם להשערה שמופיעה בגיליון זה.
בגיליון זה אנחנו פותחים מדור חדש, על הוראה וחינוך מתמטיים. הכוונה היא לתת הזדמנות לתלמידים ולמורים להביע את דעתם על סוגיות חינוכיות. אין מתאים מלפתוח את המדור במאמר מאת מי שנחשב ל"המורה" בהא הידיעה בפקולטה, ואולי בטכניון כולו – דויד צילג. דויד נפטר לפני למעלה משנה, וחסרונו מורגש על ידי כולנו. בגיליון זה מפורסם מאמר שכתב כמה שנים לפני מותו, על עקרונות ההוראה שלו.
בברכת חג פסח שמח,
רון אהרוני,
הפקולטה למתמטיקה, הטכניון
השערת ארטין
יוסי כהן
מחקרים אריתמטיים (Disquisitiones Arithmeticae) הוא ספר בתורת המספרים שנכתב על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס שרבים רואים בו את גדול המתמטיקאים מאז ומעולם. הספר יצא לאור בשנת 1801, כשגאוס היה בן 24 בלבד. בספרו זה שאל גאוס את השאלה הבאה: מדוע בפיתוח העשרוני של $latex \frac{1}{7} $ מקבלים אורך מחזור בן שש ספרות: $latex \frac{1}{7} = 0.142857142857142857 \dots $
בעוד שהפיתוח העשרוני של $latex \frac{1}{11} $ הוא רק בן שתי ספרות: $latex \frac{1}{11} = 0.090909 \dots $
ראשית ברור, למשל, שאת הפיתוח של $latex 1/7 $ ניתן לכתוב גם כך:$latex \frac{1}{7} =(\frac{1}{10} + \frac{4}{10^2 } + \frac{2}{10^3} +\frac{8}{10^4 } +\frac{5}{10^5 } + \frac{7}{10^6 })(1 + \frac{1}{10^6 } + \frac{1}{10^{2*6} } + \dots) $
כיוון שהגורם השני במכפלה הוא טור גיאומטרי עם איבר ראשון ששווה ל-1 ומנה ששווה ל-$latex (\frac{1}{10} )^6 $
נקבל שהוא שווה ל- $latex (\frac{1}{1-(\frac{1}{10})^6})=\frac{10^6}{10^6-1} $
(ראה את המאמר בגיליון זה על הנוסחה לסכום של טור גיאומטרי אינסופי)
מכאן יוצא ש-$latex \frac{1}{7} =(\frac{1}{10} + \frac{4}{10^2 } + \frac{2}{10^3} +\frac{8}{10^4 } +\frac{5}{10^5 } + \frac{7}{10^6 }) (\frac{1}{10^6-1}) = \frac{142857}{10^6-1} $
כלומר כי $latex 10^6-1=7*142857 $ זאת אומרת $latex 10^6=1\mod 7 $
תוכלו לבדוק שזה המספר הטבעי הקטן ביותר $latex k $ כך ש-$latex 10^k=1\mod 7 $ בדיוק כמו גודל המחזור בפיתוח העשרוני של $latex \frac{1}{7} $ .
באופן דומה במקרה של $latex 11 $ ראינו שהמחזור של $latex \frac{1}{11} $ הוא $latex 2 $ וכמו שאתם ודאי מצפים
המספר הטבעי הקטן ביותר $latex k $ כך ש-$latex 10^k=1\mod 11 $ הוא $latex 2 $ .
הוכחה זהה למקרה של $latex \frac{1}{7} $ עבור כל ראשוני $latex p $ תיתן שאורך המחזור בפיתוח של $latex \frac{1}{p} $ שווה בדיוק למספר הקטן ביותר $latex k $ כך ש- $latex 10^k=1\mod p $. כיוון שע"פ משפט פרמה מתקיים תמיד $latex 10^{p-1}=1\mod p $ ברור שאורך המחזור המקסימלי הוא$latex p-1 $ .
במקרה שאורך המחזור מקסימלי בפיתוח של $latex \frac{1}{p} $ אומרים ש- $latex 10 $ שורש פרימיטיבי מודולו$latex p $ .
שאלה. האם קיימים אינסוף$latex p$ -ים כך ש- $latex 10 $שורש פרימיטיבי מודולו $latex p $?
השערת ארטין. לכל מספר שלם נתון $latex a \not= 0,1,-1 $ שאיננו חזקה ריבועית של מספר טבעי קיימים אינסוף $latex p$-ים כך ש-$latex a$ שורש פרימיטיבי מודולו $latex p$.
ב-1983 הוכיחו גופטא ומורטי (Rajiv Gupta and Ram Murty) שקיימת קבוצה ספציפית של 13 מספרים כך שאחד מהם מקיים את השערת ארטין. למעשה הראו גופטא ומורטי שהשערת ארטין נכונה לכל שלושה עשר מספרים שמקיימים תנאי מסויים . רוג'ר הית'-בראון ((Roger Heath-Brown שיפר ב-1986 תוצאה זו כאשר הוכיח שאחד מכל שלשה של מספרים אשר מקיימת מספר תנאים (לא קשים במיוחד לקיום!) הוא שורש פרימיטיבי עבור אינסוף $latex p$-ים. מהמשפט של הית'-בראון נובע למשל כי אחד מכל שלושה ראשוניים הוא פרימיטיבי עבור אינסוף ראשוניים $latex p$ תוצאה דומה: אחד מבין שלושת המספרים 10, 11 או 12 פרימיטיבי לאינסוף ערכים של $latex p$.
קנטור ותורת המספרים העל־סופיים
אריה חינקיס
על הדברים הבסיסיים ביותר בחיים שלנו אנחנו לא חושבים בכלל. אנחנו מניחים אותם כמובנים מאליהם. כך גם במתמטיקה – האם אי פעם שאלתם את עצמכם מה זה "מספר"? המושג הזה טבוע כה עמוק בחשיבה שלנו שאנחנו מניחים שהוא חלק בלתי נפרד מן העולם. מין מושג בסיסי שאין תוהים על קנקנו.
בסוף המאה התשע עשרה – מאוחר מאוד בהיסטוריה של המתמטיקה – שאל את עצמו מתמטיקאי גרמני בשם גיאורג קנטור את השאלה הזאת. הוא הגיע למסקנות מעניינות. את מהלך החקירה הזה התחיל קנטור דווקא מן האינסוף. הוא הרחיב את מושג המספר לאינסוף. הוא ידע "למנות" גם קבוצות אינסופיות.
כל ילד מכיר את המספרים 1, 2, 3, … מאוחר יותר הוא לומד שקוראים למספרים האלה "מספרים טבעיים". הנה מה שקנטור אמר עליהם:
"זה בלתי הגיוני לדבר על המספר הגדול ביותר באוסף המספרים הטבעיים, לעומת זאת אין זה בלתי מתקבל על הדעת לחשוב על מספר חדש, נקרא לו ω, אשר יבטא את העובדה שהאוסף כולו נתון על־פי כלל מסוים בסידורו הטבעי."
פירוש רש"י: ω "מונה" יחד את כל המספרים הטבעיים. כפי שמספר ימי השבוע הוא 7, כך מספר המספרים הטבעיים הוא ω. וכפי ש-7 בא אחרי המספרים 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (שמספרם הוא 7), כך גם ω בא אחרי המספרים 0, 1, 2, 3, … כקוריוז, קנטור לא התחיל את הספירה מ-0.
ω היא האות האחרונה באלפבית היווני, ושמה "אומגה". את המספר ω הציב קנטור לאחר כל המספרים הטבעיים. קוריוז נוסף: בתחילה קנטור השתמש בסמל $latex \infty $, שבמתמטיקה המודרנית משמש רק כמשהו ששואפים אליו, ולא מגיעים אליו. אחר כך הבין את הבלבול שבכך, ושינה את הסימון.
גם ω אינו סוף דבר. כדי לעקוב אחרי הסדרות שלו, היה קנטור צריך להמשיך. אחרי ω הוא הוסיף למנות: ω+1, ω+2, ω+3, … וכן הלאה. למספרים האלה קרא קנטור המספרים העל־סופיים.
אתם בוודאי שואלים את עצמכם: בשביל מה זה טוב? לפעמים מספיק יופי, לא נחוץ לדרוש תועלת. במקרה זה, למרבה ההפתעה, מתברר שהדבר גם מועיל. קנטור פיתח את התורה שלו כדי להוכיח משפטים במתמטיקה קלאסית.
אבל בואו נעצור לרגע, ונערוך היכרות עם קנטור האדם.
גיאורג פרדיננד לודויג פיליפ קנטור (1845-1918) נולד בסנט פטרסבורג אשר ברוסיה. אביו היה ממשפחה שמוצאה יהודי, כנראה מאנוסי פורטוגל, אך הוא למד במוסדות של הכנסיה הלותרנית. הוא היה איש עסקים מצליח מאד, שייצג חברות מסחריות מבריטניה וגם שימש כברוקר בבורסה המקומית. מלבד זאת היה גם אדם משכיל בתחומים רבים. אימו של קנטור היתה קתולית, ממשפחת Böhm ששמה מעיד על מוצאה מבוהמיה, אזור בצ'כיה של היום. יתכן שגם האם היתה ממוצא יהודי. משפחת האם הוציאה מקירבה דורות רבים של אמנים ואנשי מדע ובעיקר מוזיקאים. גיאורג לא הכזיב את המסורת הזאת: הוא היה צייר מחונן וכנר משובח.
כאשר גיאורג היה בן 11 עברה המשפחה להתגורר בגרמניה עקב מחלתו של האב. מילדותו הביע קנטור את המשאלה להיות מתמטיקאי אך אביו העדיף שיהיה לו מקצוע מפרנס. לכן, כהכנה ללימודי הנדסה, קנטור נשלח לבית ספר מקצועי במסגרת של פנימיה. הוא הצטיין בכל המקצועות ובעיקר במתמטיקה. את לימודיו סיים עם תעודה שאפשרה לו ללמוד מדעי הטבע. הוא שב וביקש את הסכמת אביו ללמוד מתמטיקה, ולבסוף האב נעתר . זמן קצר לאחר מכן נפטר האב והוריש למשפחתו כחצי מליון מארק, סכום עצום במושגי הזמן ההוא. הדבר אפשר לקנטור חיים נוחים למרות משכורתו הצנועה בהמשך חייו.
קנטור החל ללמוד מתמטיקה באוניברסיטת ברלין בהיותו בן 18 וסיים אותה לאחר 4 שנים בתואר דוקטור. שיטת ההוראה באותה תקופה היתה שונה מן הנהוג כיום וקבלת תואר דוקטור היתה מהירה, אבל לא מספיקהלצורך קבלת משרת מרצה באוניברסיטה. לשם כך היה על המועמד לכתוב ה עבודת דוקטורט נוספת. קנטור הכין עבודה כזו ובשנת 1869 הוא התקבל כפרופסור זוטר באוניברסיטת האלה (Halle) בגרמניה. זאת, לאו דווקא מבחירתו: באותה תקופה שובצו כל המרצים באוניברסיטאות בגרמניה על-ידי משרד החינוך הגרמני. בין לבין עשה קנטור תעודת הוראה והיה במשך שנה מורה בבית ספר לבנות בברלין.
בנקודה זו של סיפורנו נחזור אל המספרים העל־סופיים. לסיפור חייו של קנטור, הלא פשוט בכלל ודי טראגי, נחזור במאמר הבא.
בתחילה לא ראה קנטור במספרים העל־סופיים מספרים, אלא סימנים שמאפשרים לו לסמן איברים בסדרות ארוכות. תחום מחקרו היה טורי פורייה (Fourier), שהם סכומים אינסופיים של פונקציות דמויות גל. באחד ממחקריו הוא נתקל בסדרות אינסופיות של נקודות על הישר הממשי. סדרות כאלה אי אפשר לסמן באותיות האלף בית – הרי יש רק מספר סופי של אותיות כאלה. לכן צריך למספר אותן – נקודה מספר 1, נקודה מספר 2, נקודה מספר 3, וכו'. יש שהסדרה מתקרבת למספר מסוים – "מתכנסת לגבול", כך קוראים לזה. בבעיה שבה עסק, קנטור היה צריך להמשיך: לאחר שמגיעים לגבול ממשיכים בסדרה חדשה. אם כן, צריך לתת מספר גם לגבול. קנטור בחר לתת לו מספר חדש, שמסומן באות ω. אם אתם שואלים מדוע קנטור היהודי בחר דווקא באות יוונית, אל דאגה: בהמשך מחקריו קנטור השתמש גם באות מן האלפבית העברי. במקרה זה, דווקא האות הראשונה, אלף. על כך במאמר הבא.
אחרי ω המשיך קנטור ומנה: ω+3, ω+2, ω+1, … וכן הלאה. ואיך נקרא לנקודה שכל הנקודות החדשות מתקרבות (שואפות) אליה? התשובה מתבקשת: נקרא לה ω+ω.
אחר כך יכולה לבוא סדרה נוספת של מספרים, שהגבול שלה הוא ω+ω+ω, וכן הלאה. מועיל להנהיג כאן קיצור:
ω5, ω4, ω+ω+ω=ω3, ω+ω=ω2, … וכן הלאה. וגם הנקודות האלה, - ω5, ω4, ω3, ω2, ω מתקרבות לגבול. כיצד נסמן אותו? די טבעי - ω·ω או בקיצור ω2.
אלה הם המספרים העל־סופיים, או בשם אחר שלהם, "מספרים סודרים". ליתר דיוק זוהי ראשית הבנייה שלהם. עוד שלבים רבים לפנינו. בין השאר, הגדרת פעולות בין המספרים החדשים והשוואה בין גדליהם. לכל אלה נגיע בגליונות הבאים.
תפיסת ההוראה שלי
דוד צילג
מאת: דוד צילג , דצמבר 2010
תפיסת ההוראה שלי
להלן חלק מהעקרונות והכללים המנחים אותי בהוראת המתמטיקה לסטודנטים. אני מניח שאין בהם חידושים שאינם מופיעים בספרים ומדריכים להוראה טובה ויעילה. אני משער שההצלחה שלי נובעת מיכולתי לממש עקרונות אילו באופן טבעי וזורם ולא כרשימת כללים שיש לבצעם. אפתח בהוראה עצמה, ואמשיך ביחס לסטודנטים ואסיים במספר הערות.
הרצאה במתמטיקה בנויה מהגדרות דוגמאות ומשפטים. מיד לאחר מתן הגדרה ואולי דוגמא או שניים, המרצה מוכיח משפט תוך הנחה שההגדרה שניתנה לפני מספר דקות כבר הובנה על ידי התלמידים. לכל ידוע שהבנה לא רוכשים על ידי שמיעה, אך זוהי טבעה של הרצאה. ככל שהחומר רב יותר ולתלמידים מטלות רבות יותר, ההבנה בהרצאה עצמה פוחתת. לכן מטרתה של ההרצאה, לטעמי, היא לתת לסטודנט אמצעים שיקלו עליו להבין את ההרצאה בזמן שהוא קורא אותה ומתרגל בכוחות עצמו. יש להעביר את החומר כולו, אך ציפייה שהתלמידים יעקבו אחרי כל הפרטים רק בגלל שהם נאמרים על ידי המרצה, היא לא מציאותית. בהרצאותיי אני נוקט בפעולות הבאות כדי שהתועלת מההרצאה תהיה מרבית:
- יש לומר לתלמידים (במיוחד כאשר החומר קשה או מספר ההגדרות החדשות לא מאפשר עיכולם) כי אין ציפייה שכולם יבינו את כל הפרטים. יש לומר להם שהכלל הוא שלא מבינים את הכל, ויש לקרוא את החומר ולהתמודד אתו בעזרת הרשימות מהכיתה ותרגול. רצוי לעתים לדרג את קושי (“הקטע הבא יהיה קשה”, הקטע הבא יראה קשה, אך לאחר שתתרגלו להגדרה, יתברר לכן שהוא קל ביותר”).
- הרישום על הלוח חייב לכלול כותרות ומשפטי פתיחה וסיום למשפטים, תרגילים, דוגמאות. הסגנון בו אני משתמש הוא:
|
איזומורפיזמים הגדרה: העתקה לינארית ממרחב וקטורי v למרחב וקטורי u נקראת איזומורפיזם אם היא חד חד ערכית ועל. שני מרחבים נקראים איזומורפיים אם קיים איזומורפיזם מאחד מהם לאחר. דוגמא לאיזומורפיזם: פרטי הדוגמא דוגמא להעתקה לינארית שאינה איזומורפיזם: פרטי הדוגמא. הסבר שאיזומורפיזם הוא "למעשה" שנוי שם או "צבע" של איברי מרחב וקטורי. משפט שני מרחבים הם איזומורפיים אם ורק אם הם שווי מימד. נדגים את הוכחת המשפט על מקרה פרטי (יש לעשות למשפטים מסובכים, רצוי לעשות תמיד, אך הזמן לא מאפשר זאת). פרטי הדוגמא. הוכחת המשפט. כיוון שזה משפט "אם ורק אם" עלינו להוכיח את שני כיווניו. כיוון אחד: נניח כי המרחבים הם איזומורפיים ונוכיח שהם שווי מימד. פרטי ההוכחה. כיוון האחר: נניח כי המרחבים שווי מימד ונוכיח כי הם איזומורפיים. פרטי ההוכחה. |
באופן זה, גם אם התלמיד לא עקב אחרי כל הפרטים בכיתה, הוא יודע בדיוק מה נעשה בכיתה ויוכל להשלים פרטים חסרים. יש להמליץ למתקשים לעבור על ההוכחה "על" דוגמא ספציפית תחילה. גם המורה יכול להשמיט חישובים בסיסיים בדוגמא, בתנאי שיכתוב במפורש "אינני מחשב זאת כאן, התוצאה היא , נא לוודא".
- כמובן שכללי ה”תורה” הבסיסיים של כתיבה על לוח חייבים להישמר: כתיבה מסודרת שורה אחר שורה, אין למחוק את מה שנכתב לאחרונה, אין “להשחיל” תוספות בין מילים ושורות שכבר כתובות, להשתמש בכל הלוח ולמחוק רק אחרי שכולו מוצה.
- מתן הסברים מדויקים ולא מעורפלים. יש להבהיר מה “הולכים לעשות”, “מה עושים ולמה” ולאחר מעשה “מה עשינו”.
- דוגמאות, שימושים ומוטיבציה שזורים בהרצאה בכל שלבי השיעור. שימושים מחוץ למתמטיקה הם ראויים וטובים, אך יש להדגיש שגם במתמטיקה עצמה יש תופעות מעניינות שראוי לחקור, יש לה יופי ואי תלות בשימושים “איננו לומדים מתמטיקה רק כדי שתשמש לנו בשטחים אחרים”.
אנו לא "מעבירים" חומר אלא מלמדים סטודנטים. יש ליצור אווירה רגועה בכיתה כך שתלמידים (חלש כחזק) לא ירגישו מאוימים, אלא יחושו שהמורה מכיר בכך שתפקידו ללמד אותם. להלן "איך" זה נעשה:
- יש לשמור קשר עין עם הכיתה ולשנות מבט כך שיפנה לחלקים שונים של הכיתה. לאחר כתיבה על הלוח יש להסתובב ולומר מספר משפטי הסבר עם הפנים לכיתה.
- יש לשלב הומור, כולל הומור עצמי.
- יש להודות מיד בטעות, יש להודות לתלמיד על גילוי טעות.
- לנסות לזכור שמות של (לפחות כמה) סטודנטים. בכל פעם שסטודנט שואל שאלה, ניתן לשאול אותו לשמו.
- שילוב סיפורים על מתמטיקאים עוזר (בין השאר) להקטנת הניכור בין חלק מהתלמידים לחומר הנלמד.
- יש לעודד שאלות סטודנטים. יש לענות גם על שאלות שנראות טיפשיות בכל הרצינות, תוך ניסיון להבין מה התלמיד לא הבין. ניתן להדריך את התלמיד על ידי שאלות: “עד פה הבנת?”, “מה זה ___ אתה זוכר?”, ואז לענות. תשובה לשאלה הנפוצה “אתה יכול לחזור על השורות האחרונות?” יש לתת בצורה אחרת מאשר ההצגה המקורית של החומר הלא מובן. שאלות שלא מתאפשר לענות עליהן בכיתה בגלל חוסר זמן, יש לענות לא בזמן השיעור.
- התייחסות רצינית מהירה ומכובדת לכל בקשה או תלונה של סטודנט, גם אם היא נראית דמיונית. הסבר מדוע הדבר לא מוצדק בדרך כלל מניח את דעת התלמיד.
- לנסות לזהות תלמידים מוכשרים במיוחד ולעודדם.
- יש לטפל אישית בתלמידים עם מוגבלויות.
- מובן מאליו שאין להעליב סטודנטים או לגלות יחס מזלזל או מתנשא אליהם.
- בחינות ובחנים הוגנים.
- כללים ברורים ולא משתנים לקביעת הציון.
- כל זאת יש לעשות ללא התפשרות כל רמת הקורס וכלליו.
התלמידים מרוצים משיטת ההוראה שלי, וציוני ההוראה מאז 1975 הם מצוינים. לעתים יש לתלמידים רושם שהם הבינו יותר ממה שהם חושבים, ואז הם נמנעים מלעבור על החומר. זאת במיוחד שיש מקצועות אחרים שבהם הם חושבים שהם מבינים פחות, ומשקיעים שם יותר עבודה. אני מדגיש פעמים רבות שבלי עבודה עצמית אין הבנה, אלא רק רושם של הבנה ומעודד עבודה עצמית ובקבוצות.
בברכה,
דוד צילג
שברים עשרוניים וטורים גיאומטריים
רון אהרוני
1. מתי פגשתם לראשונה בסדרות גיאומטריות?
הסדרה $latex {1,~2,~4,~8,~16\ldots}$ נקראת “סדרה גיאומטרית”. במקרה זה - סדרה אינסופית, אבל אפשר לדבר גם על סדרות גיאומטריות סופיות, שבהן יש איבר אחרון. בסדרה גיאומטרית כל איבר גדול מקודמו פי מספר קבוע, שנקרא ה”מנה” של הסדרה. בדוגמה הזאת המנה היא 2. המקור של השם הוא בכך שכל איבר הוא הממוצע הגיאומטרי של שני שכניו. למשל, 8 הוא הממוצע הגיאומטרי של $latex {4}$ ושל $latex {16}$, שפירושו ש-$latex {8^2=4 \times 16}$. בדיוק כפי שבסדרה חשבונית, שבה כל איבר גדול מקודמו במספר קבוע, כל איבר הוא הממוצע החשבוני של שני שכניו. למשל, בסדרה $latex {5,~8,~11,~14,\ldots}$ האיבר $latex {11}$ הוא הממוצע החשבוני בין שני שכניו: $latex {11+11=8+14}$.
סדרות גיאומטריות פוגשים לראשונה בדרך כלל בבית הספר התיכון. לפחות כך מוצהר. אבל למעשה, לומדים אותן הרבה קודם, אפילו בכיתה א’. משום שהשיטה שמקובלת כיום לייצוג מספרים, השיטה העשרונית, מבוססת על סדרה גיאומטרית - על הסדרה $latex {1,~10,~100,~1000,\ldots}$. בשיטה העשרונית מקבצים לעשרות. עשר אחדות מקבצים לעשרת אחת, עשר עשרות מקבצים למאה אחת, וכו’. הסיבה לכך שהשיטה העשרונית כה יעילה בייצוג מספרים )יש הטוענים שזהו הרעיון המתמטי המועיל ביותר מאז ומעולם( היא שהסדרה הגיאומטרית $latex {1,~10,~100,~1000,\ldots}$, כמו כל סדרה גיאומטרית עם מנה גדולה מ-$latex {1}$, גדלה מהר מאוד. אומרים שהיא גדלה “בקצב מעריכי” - המעריך בחזקה הוא שקובע את גודלה. בשבע ספרות אפשר לייצג את המספר העצום מיליון.
2. לצד השני
אפשר גם ללכת לצד השני, לחזקות שליליות של $latex {10}$. כלומר, להסתכל בסדרה $latex {1,~\frac{1}{10}=10^{-1},~\frac{1}{100}=10^{-2},~\frac{1}{1000}=10^{-3},~\frac{1}{10000}=10^{-4},~\ldots}$. הרעיון הזה קיים כבר זמן רב מאוד - למשל בחלוקת יחידות כסף לעשיריות ולמאיות: שקלים לאגורות, דולרים לסנטים. במתמטיקה הוא הופיע לראשונה במאה השבע עשרה, בצורת השברים העשרוניים. הייצוג פשוט מאוד: באיזשהו מקום שמים נקודה, משמאל לה חזקות חיוביות של $latex {10}$ ומימין לה חזקות שליליות. במקום $latex {\frac{1}{10}}$ כותבים $latex {0.1}$, במקום $latex {\frac{1}{100}}$ כותבים $latex {0.01}$ וכו’.
אנחנו עוברים בזאת מן העולם של “המפץ הגדול”, שבו המספרים גדלים בצורה מעריכית )שמשמעו - מהר מאוד( לעולם המיקרוסקופי, שבו המספרים קטנים בצורה מעריכית )שמשמעו שהם קטנים מהר מאוד(. ומתברר שזהו עולם לא פחות מעניין. לדעת רבים - מעניין עוד יותר. בעולם של המספרים ששואפים לאפס חי, למשל, החשבון הדיפרנציאלי.
3. סדרות וטורים
מדוע העולם הזה מעניין כל כך? בין השאר, משום שאפשר לסכם בו אינסוף מספרים, ובכל זאת לקבל סכום סופי. למעשה, שם פתחנו את המאמר הקודם. זוכרים? הסתכלנו שם במספר $latex {0.999…}$. זהו למעשה סכום אינסופי:
$latex \displaystyle 0.999\ldots = ~\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}\ldots+\frac{9}{10000}\ldots$
זהו סכום של איברי סדרה גיאומטרית אינסופית, עם איבר ראשון $latex {0.9}$ ומנה $latex {\frac{1}{10}}$. המפליא הוא שאף על פי שיש כאן אינסוף איברים, הסכום הזה סופי! מתברר שסכום של מספר אינסופי של מספרים יכול להיות סופי. התנאי לכך הוא שהמספרים קטנים מהר מספיק.
כאשר מסכמים איברים של סדרה הסכום נקרא “טור”. אנחנו מדברים אם כן על טורים גיאומטריים, במקרה הזה טורים גיאומטריים אינסופיים.
4. הפרקטל הראשון שלי
רבים מכם שמעו בוודאי על פרקטלים. פרקטל הוא אובייקט מתמטי )למשל, צורה גיאומטרית, אבל לאו דווקא( שדומה לחלק שלו. מה פירוש “דומה”? יש לכך מובן מדויק: החלק הדומה לשלם הוא השלם מוקטן פי מספר מסוים. למשל, גילו שחופים מתנהגים כפרקטלים. כשמצלמים אותם מרחוק מתקבלת צורה אופיינית. כשמתקרבים ומצלמים חלק קטן מקרוב, מתקבלת אותה צורה. החלק הוא בעל אותה צורה כמו החוף כולו, רק מוקטן. אם תיקחו עתה חלק קטן עוד יותר, תקבלו שוב צורה דומה. כמובן, בחופים התהליך הזה חייב להיעצר באיזשהו מקום - לכל המאוחר כאשר נגיע למולקולות שמרכיבות את החול או את הסלעים. בפרקטל “אמיתי”, כלומר מתמטי, התהליך לעולם לא נעצר. הוא אינסופי. אתם יכולים לקחת חלקים קטנים יותר ויתר, ותמיד תמצאו חלק של החלק, שדומה לחלק כולו.
ושוב, מצפה לכם כאן הפתעה: אתם מכירים פרקטלים! כבר פגשתם אותם, לכל המאוחר בחטיבת הביניים, כאשר פגשתם במספר $latex {0.999\ldots}$. אמרנו שהוא שווה ל-$latex {~\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}\ldots}$. אם תכפלו אותו ב-$latex {\frac{1}{10}}$ תקבלו
$latex \displaystyle ~\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+\frac{9}{100000}\ldots$
שהוא חלק מן הסכום - הסכום החל מן האיבר השני.
בואו ניקח טור גיאומטרי אינסופי )כמעט( כללי:
$latex \displaystyle 1+q+q^2+q^3+\ldots$
זהו טור גיאומטרי עם מנה $latex {q}$. הוא כמעט כללי כי הוא מתחיל ב-$latex {1}$, כשטור גיאומטרי כללי יכול להתחיל במספר כלשהו. טור גיאומטרי כללי מתקבל מטור כזה על ידי כפל כל האיברים במספר אחד - האיבר הראשון. אני טוען שזהו פרקטל. מדוע? משום שאם תכפלו את כל איברי הטור ב-$latex {q}$ תקבלו
$latex \displaystyle q+q^2+q^3+q^4+\ldots$
שהוא אותו סכום, החל מן האיבר השני. כלומר, החלק של הסכום, החל מן האיבר השני, דומה לסכום כולו - הוא קטן ממנו פי $latex {q}$ )כתבתי “קטן” משום שההנחה היא ש-$latex {q<1}$, אחרת הסכום הזה אינו מתכנס למספר סופי(.
5. חישוב הסכום
תכונת הפקטליות של סכומים גיאומטריים מאפשרת לחשב את הסכום שלהם. בואו נסמן את הסכום $latex {1+q+q^2+q^3+\ldots}$ ב-$latex {S}$. כלומר $latex {S=1+q+q^2+q^3+\ldots}$. לפי האמור, הסכום החל מן האיבר השני הוא $latex {S}$ כפול $latex {q}$. כלומר:
$latex \displaystyle qS=q+q^2+q^3+q^4+\ldots$
אבל הסכום החל מן האיבר השני הוא $latex {S}$ פחות האיבר הראשון, שהוא $latex {1}$. כלומר:
$latex \displaystyle qS=S-1.$
בהעברת אגפים, נקבל $latex {S(q-1)=1}$, שפירושו
$latex \displaystyle S=\frac{1}{1-q}$
ומה אם הטור אינו מתחיל ב-$latex {1}$, אלא במספר כלשהו $latex {a}$? פשוט - הסכום הוא $latex {\frac{a}{1-q}}$. הסכום כולו נכפל ב-$latex {a}$. למשל, אם האיבר הראשון הוא $latex {0.9}$ והמנה היא $latex {\frac{1}{10}}$, מתקבל: $latex {0.999\ldots = \frac{0.9}{1-0.1}=\frac{0.9}{0.9}=1}$ - כפי שאנחנו יודעים כבר מזמן!
6. מה משמעו של סכום אינסופי
בנקודה עדינה אחת לא נגענו כמעט: מה פירושו של סכום אינסופי? ואיך אנחנו יודעים שסכום של טור גיאומטרי עם מנה קטנה מ-$latex {1}$ בכלל קיים?
ושוב, תתפלאו להיווכח שבעצם אתם יודעים את התשובה. וגם כאן פגשתם אותה במקרה של המספר $latex {0.999\ldots}$. זוכרים מה משמעותו? זהו הגבול של המספרים $latex {0.9,~0.99,~0.999,\ldots}$. כלומר זהו גבול הסדרה
$latex {~\frac{9}{10}}$
$latex {~\frac{9}{10}+\frac{9}{100}}$
$latex {~\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}}$
$latex {~\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}\ldots\ldots}$
אתם יכולים לנחש מהי המשמעות של העובדה שסכום אינסופי מתכנס לגבול: מסכמים עוד ועוד איברים, ורוצים שסדרת הסכומים האלה תתקרב לגבול. אם כן, אנחנו צריכים לדעת מהו הסכום של טור גיאומטרי סופי.
7. סכום של טור גיאומטרי סופי
מהו הסכום של טור גיאומטרי שבו אנחנו עוצרים, נאמר בחזקה $latex {n}$?
כלומר, מהו הסכום $latex {1+q+q^2+\ldots+q^n}$?
בואו נסמן את הסכום הזה ב-$latex {S_n}$. כלומר:
$latex \displaystyle S_n=1+q+q^2+\ldots+q^n$
אותו טריק שהשתמשנו בו במקרה האינסופי יכול לשמש גם כאן. הוא מעט יותר מסובך )כן, המקרה הסופי יכול להיות יותר מסובך מן האינסופי!(. נכפול את שני האגפים ב-$latex {q}$. נקבל:
$latex \displaystyle qS_n=q+q^2+\ldots+q^n+q^{n+1}$
באגף ימין מופיע כמעט $latex {S_n}$. מהו ההבדל? יש לנו תוספת, של $latex {q^{n+1}}$. לעומת זאת, חסר משהו - האיבר הראשון, $latex {1}$. כלומר:
$latex \displaystyle qS_n=S_n+q^{n+1}-1$
ובהעברת אגפים,
$latex \displaystyle S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
ועכשיו, נחשוב: מה קורה, למשל, אם $latex {q=10}$? כאשר נסכם עוד ועוד איברים, כלומר $latex {n}$ גדל עוד ועוד, המספר $latex {10^{n+1}}$ ישאף לאינסוף. לכן כל הביטוי ישאף לאינסוף. הרי שאר האיברים נשארים קבועים )אגב, מדוע לא למינוס אינסוף? הרי המקדם של $latex {10^{n+1}}$ הוא $latex {-1}$! רמז: הסתכלו בסימן של המכנה(. לעומת זאת, אם $latex {q<1}$ )למשל $latex {q=\frac{1}{10}}$(, אז $latex {q^{n+1}}$ שואף ל-$latex {0}$. בגבול הוא נעלם. נשאר רק $latex {\frac{1}{1-q}}$. אם כן, במקרה זה:
$latex \displaystyle 1+q+q^2+\ldots+q^n+\ldots = \frac{1}{1-q}$
כפי שאנחנו יודעים.
למשל, אם מציבים $latex {q=\frac{1}{10}}$ מקבלים $latex {1+0.1+0.01+0.001+\ldots =\frac{1}{1-0.1}=\frac{10}{9}}$. האם ידעתם זאת גם קודם, לפני שקראתם את המאמר הזה? בוודאי.
$latex \displaystyle 1+0.1+0.01+0.001+\ldots=1.111\ldots =1+0.111\ldots = 1+\frac{0.999\ldots}{9}=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$
8. לאן מכאן?
כדי לדעת את התשובה לשאלה הזאת, כדאי לכם לקרוא את מאמרו של ד”ר יוסי כהן בגיליון הזה - הדברים יתקשרו בפעם הבאה! כן, לטורים גיאומטריים ולמספרים עשרוניים יש קשר גם להשערות מתקדמות מתורת המספרים! ועוד, נקשר את הטורים האינסופיים לפרדוקס מפורסם מימי היוונים.
חידה לילדים גדולים
רון אהרוני
בעיירה קטנה כל אדם מכיר בממוצע 100 אנשים. יחס ההיכרות הוא סימטרי, כלומר אם א' מכיר את ב' אז ב' מכיר את א'.
הוכיחו שיש בעירה קבוצה A של אנשים, שכל אדם ב-A מכיר לפחות 50 אנשים מ-A.
חידות לילדים
קוונט - תרגום : אלכס קמרסקי
שאלה 1
מצאו משקל של דג, אם ידוע שהזנב שלו שוקל 2 קילו, הראש שוקל בדיוק כמו ששוקלים הזנב וחצי מהגוף, והגוף שוקל בדיוק כמו ששוקלים ביחד הזנב והראש.
שאלה 2
ריבוע מחולק ל-36 ריבועים. ל-35 מתוכם יש שטח זהה ששווה ל-1 מ"ר ולאחד מהריבועים יש שטח ששונה מ-1 מ"ר. איזה שטח יש לריבוע הנותר?
שאלה 3
הצורה שבאיור חסומה על-ידי חצי-מעגל ברדיוס 2, ושני חצאי-מעגלים ברדיוס 1. חלקו את הצורה ל-4 צורות שוות שטח.
שאלה 4
כמו שאתם מבחינים בודאי לא מתקיים השוויון 1212016 = 742586 + 829430. הסיבה היא שספרה אחת (נסמן אותה x) נמצאת במקום ספרה אחרת (נסמן אותה y ) ובמקום ספרה x בכל מקום מופיעה הספרה y . מהן הספרות ?