חידות

לחידות המוצגות בגיליון זה יפורסמו רמזים בגיליון הבא ופתרונות מלאים בזה שלאחריו. נשמח לקבל את פתרונותיכם באמצעות המקום המיועד לכך בתחתית העמוד עד 24.11.2015 , אנא ציינו את שמכם, היישוב בו אתם גרים, שם ביה"ס שלכם והכיתה בה אתם לומדים. בגיליון הבא יפורסמו שמות הפותרים נכונה, וכן יובאו פתרונות יפים שייכתבו על ידכם.

חידה 1–איך לחלק את המחרוזת?

שני גנבים רוצים להתחלק בשללם, מחרוזת שבה מושחלים בזה אחר זה $latex 2n$ ספירים ו $latex 2m$ אזמרגדים (באיור $latex n=1, m=3$). אבני החן מסודרות באפן שרירותי על המחרוזת, יש להראות כי לכל סידור נתן לחתוך את המחרוזת ל3 חלקים כך שגנב אחד יקבל את החלק המרכזי עם $latex n$ ספירים ו $latex m$ אזמרגדים, ובחלקו של השני יהיו 2 החלקים הקיצוניים, גם הם עם $latex n$ ספירים ו $latex m$ אזמרגדים.

זה מקרה פרטי של הבעיה המוצגת בגיליון הקודם של "נטגר" במאמרו של רון אהרוני על טופולוגיה, הבעיה הכללית דורשת שימוש במשפט בורסוק-אולם. לעומת זאת החידה שבה יש רק שני סוגי חרוזים, המופיעה במדור זה ניתנת לפתרון פשוט, שגם נותן לגנבים אלגוריתם למציאת נקודות החיתוך.

חידה 2–איך למצוא את הדרך הנכונה?

חידה זו הוצעה בשעתו ע"י מרטין גרדנר. לאלו שאינם מכירים, מצפה אתגר.

תייר מגיע לאי שבו יש שני שבטים: האחד של דוברי אמת – על כל שאלה עונים את התשובה הנכונה. ואחד של דוברי שקר – על כל שאלה נותנים תשובה שקרית, במיוחד אם התשובה הנכונה היא "כן" הם אומרים "לא", ולהפך אם התשובה הנכונה היא "לא" הם אומרים "כן". אנשי אחד מהשבטים חובשים כובעים ואנשי השבט השני מסתובבים גלויי ראש.

התייר מגיע לצומת ממנו מתפצלות שתי דרכים האחת ימינה והשנייה שמאלה, ידוע לו שרק אחת הדרכים מובילה לארמון המלך. בצומת נצבים שני תושבי האי, האחד עם כובע על ראשו והשני גלוי ראש.

מותר לתייר לשאול שאלה אחת בלבד, שהתשובה עליה היא כן או לא, השאלה יכולה להיות מופנית לאחד מתושבי האי בלבד. מה ישאל התייר כדי למצוא את דרכו לארמון?

חידה 3– סידור אבני דומינו?

משחק דומינו רגיל מורכב מ 28 אבני משחק על כל אחת מהן זוג מספרים שכל אחד מהם בין 0 ל 6 . מופיעים כל זוגות המספרים האפשריים וכל אבני הדומינו שונות זו מזו . בוודאי ידוע לכם שאפשר לסדר את כל אבני הדומינו בשרשרת אחת שבה המספרים הנושקים זה לזה זהים. הציור מראה קטע של שרשרת כזו (עם האבנים: $latex \dots$ 5:6,6:4,4:3,3:5)

האם במשחק דומינו מורחב שבו המספרים על האבנים הם בין 0 ל 9 (סה"כ 55 אבני משחק) גם כן ניתן לסדר את האבנים בשרשרת אחת שבה המספרים הנושקים זה לזה זהים?

רמזים לחידות מגיליון אוקטובר 2015

חידה 1–שמיכת טלאים

נסו לפתור חידה פשוטה יותר שמיכה מרובעת של 25 ריבועים לחלק ל 2 שמיכות 3X3 ו 4X4, בחלוקה של השמיכה הגדולה ל 4 חלקים – הכלילו את התוצאה.

חידה 2–איזו ספרה חסרה?

חשבו את המספר מודולו 9.

חידה 3– איזה מספרים ניתן לרשום כסכום של רצף של מספרים טבעיים?

הראו כי אי אפשר לרשום מספרים שהם חזקות של 2 כסכום של רצף.

פתרון החידות גיליון ספטמבר 2015

חידה 1 –כמה פירמידות?

כמובן שכל התמורות של 6 המקצועות, $latex 6!$ , ייצרו הרבה מאד עותקים של אותה פירמידה כשהיא מסובבת. אחת הדרכים לספור נכון את הפירמידות השונות זה להסתכל על צבעי המקצועות המנוגדים (למשל $latex OC$ ו $latex AB$ ) ברור שכל צביעה שבה למקצוע הצהוב יהיה קדקוד משותף עם המקצוע האדום אי אפשר יהיה להתאים ע"י סבוב לפירמידה המצוירת למעלה.

בשלב ראשון נבדוק כמה זוגות שונים מהצורה $latex \left\{a,b\right\},\left\{c,d\right\},\left\{e,f\right\}$ נתן ליצר מ 6 הצבעים $latex (a,b,c,d,e,f)$. קל לראות כי מספר זה שווה ל: $latex \frac{C_2^6 \cdot C_2^4 \cdot C_2^2}{3!} = \frac{\frac{6 \cdot 5}{2} \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 1}{6} = 15$ המכנה נובע מכך שסדר הזוגות לא משנה.

כל שלשה של זוגות צבעים (של מקצועות מנוגדים) יכולה לכאורה לצבוע את הפירמידה ב 8 דרכים, אך בדיקה פשוטה מראה כי מדובר רק בשתי אפשרויות. האיור הבא מתאר את 8 האפשרויות לשלשה (צהוב-סגול, שחור-כחול, אדום-ירוק)

זה נותן לנו 30 אפשריות. מאידך השרטוט בראש החידה מייצג למעשה שני שיקופים של פירמידה, אם נחשוב שהמשולש $latex ABC$ נמצא במישור, הנקודה $latex O$ יכולה להימצא מעליו או מתחתיו וליצור בצורה כזו שתי פירמידות שונות (שאי אפשר לעבור מאחת לשנייה ע"י סבוב כלשהוא). כלומר סה"כ יש 60 אפשרויות.

 לגבי בניית פירמידה מ6 מקצועות באורכים שונים $latex a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4 \lt a_5 \lt a_6$. לכאורה צריך לבדוק את אי שוויון המשולש לגבי כל 3 אורכים. כלומר לכל $latex i,j,k$ צריך להתקיים $latex a_i + a_j \gt a_k$. אבל מאחר והקטעים מסודרים לפי אורכם מספיק לבדוק אי שוויון אחד בלבד: $latex a_1 + a_2 \gt a_6$ !

חידה 2–האם ניתן לכסות לוח שחמט פגום ב 31 אבני דומינו?

אבן דומינו תמיד מכסה משבצת אחת שחורה ומשבצת אחת לבנה, לכן 31 אבני דומינו יכסו 31 משבצות שחורות ו 31 משבצות לבנות. בלוח השח הפגום יש 30 משבצות לבנות ו 32 שחורות, לכן זה בלתי אפשרי.

חידה 3 – בפרוס שנת תשע"ו

קודם כל יש לתת את הדעת שההפרש בין השנה בלוח העברי לשנה בלוח הגרגוריאני יכול להיות 3760 (בין 1 ינואר ל כ"ט באלול) או 3761 (בין א' תשרי ל 31 דצמבר).

אם נסמן ב $latex a^2$ את השנה לפי הלוח העברי, וב $latex b^2$ את השנה לפי הלוח הגרגוריאני.

נשתמש בשוויון $latex a^2-b^2 = (a+b) \cdot (a-b)$ ונקבל שהמכפלה בצד ימין של המשוואה היא הגורמים של ההפרש בין ערכי השנים בלוחות השונים. מפרוק לגורמים נקבל:

$latex 3761 = 1 \cdot 3761$

$latex 3760 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 47$

ומכאן קל למצוא שאם נדרוש שההפרש בין השנים יהיה 3761 יהיה פתרון אחד בלבד (שנצטרך לחכות לו מיליוני שנים): השנה לפי הלוח העברי תהיה 3,538,161 –ואז השנה לפי הלוח הגרגוריאני תהיה 3,534,400.

במקרה השני, יש לתת את הדעת שלפתרונות שלמים שני הגורמים חייבים להיות זוגיים, קיימים 6 פתרונות אפשריים.

מחלקים		שנה עברית	שנה גרגוריאנית
40	94	4489	729
20	188	10816	7056
10	376	37249	33489
8	470	57121	53361
4	940	222784	219024
2	1880	885481	881721

המצב שבו השנים לפי שני הלוחות היו רבועים שלמים קרה לפני למעלה מאלף שנה בשנת ד'תפ"ט שהיא שנת 729.

ואילו לאירוע הקרוב ביותר בעתיד נצטרך להמתין יותר מחמשת אלפים שנים לשנת י'תתט"ז שהיא שנת 7056.

שמות הפותרים נכונה את החידות מגיליון אוקטובר 2015

אלעד צליק – כל החידות!

עומר שמחי, מסיים י"ב, קריית טבעון - חידות מספר 2 ו-3.