מה זו לוגיקה מתמטית

מהי המתמטיקה?

"המדע של הצורה והמספר", אומרת אחת ההגדרות המפורסמות ביותר. כלומר - גיאומטריה ומספרים. האמנם? לא אנסה במאמר הזה להגדיר מהי המתמטיקה (כדאי שתנסו בעצמכם!) אבל אראה לכם בו שהטענה הזאת אינה נכונה. המאמר הזה הוא ראשון בסדרת מאמרים על תחום מתמטי שמפריך בקיומו את ההגדרה הזאת: הוא אינו עוסק לא בצורות ולא במספרים. זוהי הלוגיקה המתמטית - אחד החידתיים ביותר בין תחומי המתמטיקה. תחום שלא ברור איך יכולים בכלל להיאמר בו דברי טעם. אבל נאמרים, ועוד איך.

הלוגיקה המתמטית היא המתמטיקה של המתמטיקה. כפי שאיש משוואות דיפרנציאליות מסתכל בזרימה בצינורות, מוצא את המשוואות הדיפרנציאליות שעל פיהן הנוזלים בצינור מתנהגים ואחר כך חוקר את המשוואות האלה, כך הלוגיקאי מסתכל במתמטיקאים, כיצד הם יושבים במשרדיהם, מחדדים את עפרונותיהם, בוהים בלוח שלפניהם, מתגרדים בראשם - ועושים מתמטיקה. אכן, כפי שאתם יכולים לנחש, על החלק של הגירוד בפדחת הלוגיקאי מדלג. במקום זאת הוא מסתכל במה שהמתמטיקאי כותב במחברתו.

במשך כאלפיים שנים אכן הייתה הלוגיקה המתמטית מקצוע דל ביותר. היחיד שהתייחס אליה ממש היה אריסטו, שקבע כמה כללי היסק. כלומר, כללים שבעזרתם אפשר להסיק ממשפטים מסוימים משפטים אחרים. המפורסם ביניהם היה "ניתוק הרישא", או ביוונית "מודוס פוננס" ("MODUS PONENS"). הכלל הזה אומר שאם הצלחתם להוכיח ש"אם היום יום שלישי אז חייב לרדת גשם", ובמקביל הצלחתם להוכיח גם ש"היום יום שלישי", אתם יכולים להסיק ש"היום יורד גשם". את המשפט "אם $latex \ldots$ אז" מסמנים בלוגיקה על ידי חץ:

$latex \alpha \to \beta$ פירושו "אם $latex \alpha$ אז $latex \beta$". מיהם $latex \alpha$ ו-$latex \beta$? ובכן, כל שתי טענות. אפשר להציב במקומם כל טענות שתרצו. ניתוק הרישא אומר אם כן: אם הצלחתם להוכיח ש-$latex \alpha \to \beta$ וגם $latex \alpha$, הרי הוכחתם בזאת $latex \beta$.

חוכמה גדולה? לא נראה כך, לפחות ממבט ראשון. אבל כאן טמונים כבר הזרעים של מקצוע הלוגיקה. הרעיון הבסיסי, של להסתכל על המשפטים שהמתמטיקאים אומרים כעל מחרוזות של תווים (אותיות) ולשחק עם המחרוזות האלה על פי כללים קבועים וידועים, נמצא כבר כאן. הכללים האלה הם פורמליים, כלומר נוגעים למבנה המשפט (מה שנקרא בלוגיקה "תחביר") ולא למשמעות המשפט.

ובכל זאת, איך ממשיכים? "אי אפשר להמשיך", אמר הפילוסוף עמנואל קאנט בסביבות שנת 1800. "על מה שאמר אריסטו על הלוגיקה אין להוסיף אפילו מילה אחת". קאנט הקדיש את כל הקריירה הפילוסופית שלו לעשות דבר אחד - להוכיח שמה שיש הוא בדיוק מה שצריך להיות. חוקי הגיאומטריה, כך אמר, אינם יכולים להיות שונים מאלה של הגיאומטריה האוקלידית: כחמישים שנים אחר כך יבהירו גאוס ובויוי שהגיאומטריה יכולה להיות שונה מאוד, וכעבור חמישים שנים נוספות יראה איינשטיין שהעולם מציית דווקא לחוקיה של גיאומטריה לא אוקלידית. קאנט ניסה להראות שחייבת להיות סיבתיות בעולם (אחרת לא נוכל בכלל לחשוב - והרי אנחנו חושבים), ושאת חוקי המוסר אפשר להסיק מכלל אוניברסלי (הוא התעלם מכך שחוקי המוסר של חברות שונות הם שונים מאוד). כך הוא גם טען שהלוגיקה של אריסטו היא בדיוק מה שצריך להיות - המילה האחרונה. אבל לא כדאי לקחת פילוסופים יותר מדי ברצינות כשהם מדברים על מתמטיקה. לא עברו חמישים שנים מאז שאמר קאנט את מה שאמר על הלוגיקה, וגלגליה של מהפכה לוגית החלו לנוע.

הצעד הראשון נעשה בידי לוגיקאי אנגלי בשם ג'ורג' בול. לבול לא היו חיים קלים. כנער נאלץ לפרנס את משפחתו בשיעורים פרטיים, וכך לא למד בצורה מסודרת בעצמו: הוא היה אוטודידקט. לאחר קריירה לא ארוכה מת בגיל כחמישים מדלקת ריאות, שהוחמרה בטיפולים של אמבטיות קרות בהמלצת אשתו שהאמינה ש"התרופה צריכה להיות דומה לגורם למחלה".

ג׳ורג׳ בול, 1815 - 1864

על כל זאת פיצתה אותו אלת המתמטיקה במתנה גדולה: ייסוד תחום חדש. בול הבין שאפשר לחקור את הדרך בה מצרפים משפטים מתמטיים זה לזה, על ידי פעולות פשוטות. הפעולות הפשוטות ביותר הן "או" ו-"ו", שמסומנות ב-$latex \vee$ ו-$latex \wedge$, בהתאמה. כך, $latex \alpha \vee \beta$ משמעה $latex \alpha$ או $latex \beta$, שהיא טענה נכונה (כך מגדירים) בתנאי שלפחות אחת משתי הטענות נכונות. הטענה $latex \alpha \wedge \beta$, לעומת זאת, נכונה (ושוב זה עניין של הגדרה) אם שתי הטענות נכונות. הסימן "$latex \to$" מסמן כאמור, גרירה, והטענה $latex \alpha \to \beta$ נכונה (כך מגדירים) אם $latex \beta$ נכונה, או $latex \alpha$ לא נכונה. במילים אחרות, הטענה $latex \alpha \to \beta$ אינה נכונה רק במקרה אחד: כאשר $latex \alpha$ נכונה ו-$latex \beta$ אינה נכונה. לשלילה מותאם הסימן $latex \sim$. $latex \sim \alpha$ משמעו "לא נכון ש- $latex \alpha$".

עתה אפשר לומר דברים מעניינים על הנוסחאות. למשל, שקילות בין נוסחאות. מה פירוש "שקילות"? שתי נוסחאות שמכילות משתנים לוגיים נקראות שקולות אם הן מקבלות אותו ערך אמת לכל הצבה של ערכים למשתנים. הנה שתי דוגמאות:

1. הנוסחה $latex \sim \sim p$ שקולה לנוסחה $latex p$. פירוש הדבר הוא שבין אם $latex p$ מקבל ערך אמת "נכון" ובין אם הוא מקבל ערך אמת "לא נכון", $latex p$ ו-$latex \sim \sim p$ מקבלות אותו ערך אמת ("נכון" אם $latex p$ נכון, ולא נכון אם לא.)

2. $latex \sim (p \vee q)$ שקולה ל-$latex \sim p \wedge \sim q$. יש ארבע אפשרויות לבחירת ערכי אמת לשני המשתנים. בדקו שבכל אחת מהן שתי הנוסחאות מקבלות אותו ערך אמת. או, פשוט חישבו על המשמעות של "לא נכון ש-א' או ב' " ותיווכחו שפירושו שגם א' לא נכון, וגם ב' לא נכון. החוק הזה נקרא "חוק דה מורגן".

יש עוד חוק של דה מורגן - $latex \sim (p \wedge q)$ שקולה ל - למה? השלימו את החסר, ונסו גם להסיק את החוק השני מן הראשון, בעזרת החוק על $latex \sim \sim \alpha$.

זו הייתה התקדמות גדולה - אמנם זה לא מורכב במיוחד, אבל יש כאן מהפכה מושגית. הסתכלות חדשה על המשחק המתמטי. המתמטיקאים, כך אמר בול, הם שחקנים שלוח המשחק שלהם הוא שרשראות של נוסחאות. והנכונות של נוסחה מורכבת מוגדרת על פי הנכונות של המרכיבים האטומיים שלה (אלה שאינם ניתנים לחלוקה) שלה - בדוגמאות שלעיל המרכיבים האטומיים היו $latex p$ ו-$latex q$.

ועדיין, רוב המתמטיקאים לא התרגשו. הם חיכו שדבר מה עמוק ייאמר על התורה החדשה. היו נחוצות עוד התפתחויות כדי שהתחום יגיע לבשלות. הראשונה בהן נעשתה ברבע האחרון של המאה התשע עשרה, בידי לוגיקאי בשם פרגה ($latex Gottlob~~Frege$). הוא עשה שני דברים מהותיים. האחד - הוא הוסיף ממד לנוסחאות, בדמות סימן חדש, שהוחלף מאז ב: $latex \forall$. הסימן הזה אומר "לכל", והוא דורש משתנה: $latex \forall x$ משמעו לכל ערך של המשתנה $latex x$. למשל, בתורת המספרים אפשר לכתוב את הנוסחה $latex \forall x (x \ge 0)$ - שבאינטרפרטציה הרגילה של הסימן $latex \ge$ ושל הסימן $latex 0$ זוהי טענה נכונה (באינטרפרטציה הרגילה הסימן $latex 0$ מותאם למספר $latex 0$).

מאוחר יותר הוסיף מתמטיקאי בשם פאנו סימן נוסף - $latex \exists$, שמשמעו "קיים". פרגה הסתדר בלעדיו - כיצד? הוא שם לב לכך שאת הטענה "קיים משהו" אפשר לבטא בעזרת "לכל". "קיים בארץ אדם שאוהב לשים חרדל על העוגה שלו" שקול ל-"לא כל אדם בארץ לא אוהב לשים חרדל על העוגה שלו". ובאופן כללי -

הנוסחה  $latex \exists x (P(x))$ שקולה לנוסחה  $latex \sim(\forall x \sim P(x))$. כאן $latex P(x)$ היא תכונה כלשהי של המשתנה $latex x$ - למשל לאהוב עוגה עם חרדל.

אבל זה היה רק צעד ראשון של פרגה. היה לו צעד חשוב הרבה יותר - הוא הגדיר בצורה מדויקת מהי "הוכחה מתמטית". וזה היה כבר באמת הישג גדול. אספר עליו במאמר הבא בסדרה.